メジャーを使えない宇宙の距離の測定。直接測定できない距離を測る方法は三角測量。遠過ぎると使えなくなるが、まずは三角測量が使える範囲から。

佐治村と東京で、同時に月の見える角度を測ります。佐治村と東京では距離が約500km離れています。ここから先はパソコンソフトに頼りましょう。観察日は１月２１日、ちょうど満月です。午後９時00分、東京から見ると月の高度は45度、佐治から見ると高度は40度です。

東京での角度を ａ、佐治村での角度を ｂ とすると

９０ − ａ ＋ α ＋ ｂ ＝ ９０     ∴α ＝ ａ − ｂ

これを使ってαを計算すると ５°になります。弧度法で表すと

( ２π / ３６０) Ｘ ５＝ ０．０８７２ ｒａｄ

従って ｒ ＝ ５００ｋｍ / ０．０８７２ ＝ ５７３４ｋｍ となります。

これは実際の月までの距離３８万ｋｍとあまりのもかけ離れています。これは地球が丸いことに起因します。地球上で５００ｋｍ離れているということは角度にすれば約４．５°に相当します。つまり、東京と佐治村では地平線が平行ではないためこの分の補正が必要になります。拡大して描くと次図のようになります。

ここで

１８０−ａ＋ｄ＋ｆ＝１８０ ・・・・・・・・・(１)

ｂ＋ｅ＋ｇ＝１８０ ・・・・・・・・・(２)

ｆ＋ｇ＋１８０−２ｃ＝３６０ ・・・・・・・・・(３)

(１)＋(２)より ｄ＋ｅ＝１８０＋ａ−ｂ−(ｆ＋ｇ )

この式に(３)より( ｆ＋ｇ ) ＝ １８０ ＋ ２ｃを代入すると

ｄ＋ｅ＝ａ−ｂ−２ｃ

つまり、２点間の中心角分( ２ｃ )を補正しまければなりません。

別の方法を考えてみます。月の後方にある星を使います。

ａ＋α＋γ＝１８０ ・・・・・・・・・(１)

ｂ＋β＋γ＝１８０・・・・・・・・・(２)

(２) − (１) より

ｂーａ＋β−α＝０ ∴ α−β＝ｂ−ａ・・・(３)

星までの距離を月までの距離(Ｄ)のｎ倍とすると

ＡＢの距離 ＝

β ｘ ｎ ｘ Ｄ ≒ α ｘ Ｄ より β＝α / ｎ

(３)に代入すると、 α(１−(1 /ｎ))＝ｂ−ａ

ここで、ｎが大きい場合(1 /ｎ) ≒ ０ となり

α ＝ ｂ − ａ

つまり、２点で月と遠方の星の角度を測定し、その差を求めると、月から見た二点間(Ａ、Ｂ)の角度になります。これを使って月までの距離を求めることができます。地球から見た月と星のイメージは上図のようになります。

ここで、再び鳥取市さじアストロパ−クよりデータを借用します。

実際に、図にある(省略しました[管理人]) アルデバラン食で計算してみましょう。計算しやすいように、ちょうど月が真南にある頃で考えます。アルデバランを基準にすると、月の見える方向は佐治と東京では角度で約４分45秒(１分は１度の60分の１)違いますので、佐治と東京の距離を500kmとすると36万２千kmとなります。実際の距離(約38万km)にずいぶんと近くなりました

実際に計算してみます。角度で約４分４５秒とありますのでこれをラディアンに変換します。

４分４５秒＝０．０７９１度(4/60＋45/3600)＝０．００１３８０ｒａｄ [( 2π / 360) Ｘ 0.0791]

地球から月までの距離 ＝ ５００ｋｍ / ０．００１３８０＝３６２８１３ｋｍ

３６．３万ｋｍとなりほぼ現実に近い値になりました。

[2006/08/02]

太陽までの距離は１ＡＵと表され、天体での距離の一つの基本単位になっています。月までの距離で勉強させてもらった「鳥取市さじアストロパ−ク」に太陽までの測定方法がありましたのでこれを検証します。

一言で言えばケプラーの第３法則を使います。この法則は「各惑星の長径の3乗と公転周期の2乗との比が惑星によらず一定である。」と言うものです。

実際のデータを見てみてみます。ここで、また「鳥取市さじアストロパ−ク」のデータを使わせてもらいます。「太陽系の各惑星の長半径と公転周期をちょっと表にしてみましょう。どちらも地球の大きさを基準(1.0)とします。」として下表がありました。

話を元にもどします。もう１点疑問がありました。「公転周期をどうして測定するのでしょうか？ 宇宙空間にしるしを付けておく訳にはいかないのに．．．．．」ということです。これは「天球」という言葉を思い出し、納得できました。宇宙には天然のしるしがたくさんありました。いずれにしても、原理的にはどちらも測定できそうなので具体的な計算をしてみます。

太陽から惑星までの距離はＡＵ単位で測定されているので、地球とどこかの惑星までの距離をｍの単位で測定すればＡＵをｍに換算でき、太陽までの距離をｍで表現できます。これには地球のすぐ外側を回っている火星がつかわれました。方法は月の距離と原理的には同じですが、火星までは月に比べ遥かに遠いので地球の２点間のさらに広く取る必要があります。ここで、また「鳥取市さじアストロパ−ク」のデータを使わせてもらいます(詳しくは「はるかなる宇宙の広がり６．太陽までの距離　その４」を参照下さい。)。

パリ天文台初代台長のカッシーニは、１６７２年に、パリと南アメリカのカイエン島で火星の見える位置を詳しく観察したのです。確かに火星の見える位置が、角度で9.5秒(１度の約 360分の１)ずれていることがわかり、火星と地球の距離を計算することができました。

実際に計算はしてなかったので、計算してみました。実はこの視差を、パリとカイエン島からの視差として計算してみたのですが ( パリの緯度は北緯48度52分00秒、東経2度19分59秒。カイエン島はわからなかったので南アメリカ・フランス領ギアナのカイエンヌで代用します。北緯4度56分、西経52度20分。従って２点間の距離は７０８３ｋｍとなります。９．５秒＝０．００２６４度＝４．６０ｘ１０^−５ｒａｄ。太陽までの距離＝７０８３ｋｍ/４．６０ｘ１０^−５＝１５４０ｘ１０^５ ) 実際と大きく異なります。いろいろ調べてみて「宇宙の広さは測れるか^＊１」に以下のような記述がありました。

特に１６７２年には、火星は地球に０．３８２天文単位 ( ５７１５万ｋｍ ) まで接近しましたが、このときカシニが求めた火星の赤道地平視差は２５”でした。したがって太陽視差は９”５５となり、１天文単位は１億３８００万ｋｍと算出されました。

実は、鳥取市さじアストロパ−クの視差9.5秒はパリ−カイエン島での視差ではなく、太陽視差だったようです。太陽視差を９”５５、地球の半径を６４００ｋｍとすると上記の計算通り地球−太陽間の距離は１億３８００万ｋｍになります。

^＊１ 「宇宙の広さは測れるか」 吉田 正太郎 著 地人書館 出版

[2007/02/12]