職業訓練についてですが、雇用・能力開発機構が募集している委託訓練と、県が募集している委託訓練の違いってなんでしょうか？
応募方法は、失業保険受給中ならどちらもハローワークに申込みをするみたいなんですが、受講側からの違いってありますか？
もし知っている方がいらっしゃれば教えて下さい。

あまり難しく考えなくても大丈夫です。要は実施主体の違いです。どちらも「委託訓練」と銘打っているとおり、自分の学校で訓練を行うのではなく、民間教育訓練機関等に訓練実施を委託しているということです。（例：都道府県の場合、実施主体は都道府県でも訓練そのものを行う施設は技術専門校ではなく民間の学校となる。）
訓練の申込にあたっては質問文のとおりで特に違いはありません。
余談ですが、申し込みにあたっては自分の住所を管轄するハローワークとなります。