失業保険を受給しています。
5月の31日で受給終了になり、その日で受給期間も満了日になります。
6月1日からの職業訓練を受けたいのですが、認めてもらえるでしょうか？

はじめまして。
職業能力開発校で職業訓練指導員をしているものですが、自分の知っている範囲でお答えします。
その内容から見ると、職業訓練は受講できます。ですが、失業給付期間満了しているので、訓練手当は支給されません。
基本的な考え方として、ハローワークで職業相談してその上で訓練を受講するのか、しないのか考えた方が良いと思います。