職業訓練を受けると失業給付が伸びますが、最高で六ヶ月までになったというのは本当なのでしょうか？

それはないと思います。

私の住んでる都道府県では可能です。
私自身、失業期間中で3ヶ月、プラス4ヶ月の職業訓練を受けて、約7ヶ月間失業給付金が支給されました。90日のうち1日でも給付日数が残っていて、職業訓練を申し込めば、給付金延長が適用されました。但し、給付金延長の残日数の要件が、都道府県によって違うということを聞いたことがあります。疋田由真さんもここの部分は、よくお調べになった方がいいかもしれません。

私のレスに誤解がないように念のため補足します。

6ヵ月に変更されていません。

訓練延長は所定給付日数の残日数分と併せて訓練開始日から終了日までです。（最高1年間）
なお、雇用保険は国の制度ですので都道府県によって要件が異なることはありません。
（ただし、特定不況地域の指定を受けた場合などはその地域だけ延長給付されることがあります。）

訓練終了後、残日数がない人を対象とする「終了後手当（30日分）」は現在運用されておりません。